संख्यांचे विभाजक,विभाज्य व कसोटया | Number dividers, divisors and tests

 

संख्यांचे विभाजक,विभाज्य व कसोटया

■ विभाजक :   ज्या संख्यांनी दिलेल्या संख्येला भागल्यावर नि:शेष भाग जातो.  त्या संख्यांना दिलेल्या संख्येचे विभाजक किंवा अवयव म्हणतात.

उदा.  16  या संख्येस 1, 2, 4, 8, 16   या संख्यांनी भागल्यास बाकी शून्य उरते म्हणून या सर्व संख्यांना 16 चे विभाजक किंवा अवयव म्हणतात.

--------------------

■ कोणत्याही संख्येचा सर्वात लहान विभाजक 1 व सर्वात मोठा विभाजक तीच संख्या असते.

उदा. 35 चा सर्वात लहान विभाजक 1 व सर्वात मोठा विभाजक 35 होईल.

--------------------

■ विभाजकांची संख्या मर्यादीत असते.

■ कोणत्याही संख्येचा विभाजक हा दिलेल्या संख्येपेक्षा मोठा नसतो.

■ एखादी संख्या तिच्या दोन अवयवांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात मांडता येते.

उदा. 20 =  1 ×20     =  2 ×10     =  4 × 5

■ सहमूळ संख्यांना 1 हा एकच सामाईक विभाजक असतो.

■ क्रमागत संख्या या सहमूळ संख्या असतात.

■ जेव्हा भाजकाने भाज्याला भागल्यावर बाकी शून्य उरत तेव्हा त्या भाज्याला विभाज्य असे म्हणतात व भाजकाला विभाजक असे म्हणतात.

■ कोणत्याही संख्येचे विभाज्य असंख्य असतात.   उदा.  4,8 12, 16, 20, ......... या 4 च्या टप्यातील संख्या 4 ने विभाज्य संख्या आहेत.  थोडक्यात विभाज्य संख्या विभाजक संख्येच्या पटीत असतात.

--------------------

विभाज्यतेच्या कसोटया:

■ 2 ची कसोटी :  ज्या संख्येच्या एकक स्थानी 0, 2, 4 , 6, 8,  यापैकी एक अंक येतो त्या संख्येला 2 ने नि:शेष भाग जातो.

उदा. 16, 42, 8900, 772

--------------------

■ 3 ची कसोटी : ज्या संख्येच्या सर्व अंकांच्या बेरजेला 3 ने भाग जातो त्या संख्येला 3 ने नि:शेष भाग जातो.

उदा.  453 या संख्येतील अंकांची बेरीज = 4 + 5 + 3 = 12    12  ला 3 ने भाग जातो.

453    ला 3 ने नि:शेष भाग जातो.

--------------------

■ 4 ची कसोटी : ज्या संख्येच्या दशक व एकक स्थानच्या अंकांमुळे तयार होणा-या  संख्येला 4 ने भाग जातो.  त्या संख्येला 4 ने नि:शेष भाग जातो.

उदा. 784  या संख्येतील दशक व एकक मिळून तयार होणा-या 84  या संख्येला  4 ने भाग जातो.

784  ला 4 ने नि:शेष भाग जातो.

--------------------

■ 5 ची कसोटी : ज्या संख्येच्या एककस्थानी 0 किंवा 5 असतो.  त्या संख्येला 5  ने नि:शेष भाग जातो.

उदा.  15,  20, 155, 7120,.......

--------------------

■ 6 ची कसोटी :  ज्या संख्येला 2 ने व 3  ने नि:शेष भाग जातो त्या संख्येला 6 ने नि:शेष भाग जातो.

( कोणत्याही विषम संख्येला 6  ने नि:शेष भाग जात नाही.)

उदा. 534 - सम संख्या आहे      ∴ 2  ने भाग जात जातो. 

5 + 3 + 4 = 12 ला 3  ने भाग जातो.    ∴ 534 ला 6 ने भाग जातो.

--------------------

■ 8 ची कसोटी : ज्या संख्येच्या शतक, दशक, एकक मिळून तयार होणा-या संख्येला 8  ने नि:शेष भाग जातो त्या संख्येला 8 ने नि:शेष भाग जातो.

उदा.  864  ला 8 ने भाग जातो.

∴ 5864  ला 8 ने नि:शेष भाग जातो.

--------------------

■ 9 ची कसोटी :  ज्या संख्येच्या सर्व अंकाच्या बेरजेला 9 ने नि:शेष भाग जातो.  त्या संख्येला 9 ने नि:शेष भाग जातो.

उदा. 90927 = 9 + 0 + 9 + 2 +7 = 27

27 ला 9 ने नि:शेष भाग जातो.

∴ 90927  ला  9 ने नि:शेष भाग जातो.

--------------------

■ 10 ची कसोटी : ज्या संख्येच्या एकक स्थानी शून्य आहे.  त्या संख्येला 10 ने नि:शेष भाग जातो.

उदा. 10, 90, 900, 4000,.......

--------------------

■ 11 ची कसोटी : – ज्या संख्येतील फरक 0 किवा ती संख्या 11 च्या पटीतील असेल तर त्या संख्येस 11 ने भाग जातो.

उदा. 956241 1+2+5=8 & 9+6+4=19 दोघातील फरक 11 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जातो.

72984 4+9+7=20 & 8+2=10 दोघांतील फरक -10 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जात नाही.

5984 4+9=13 & 5+8=13 दोघांतील फरक 0 म्हणून या संख्येला 11 ने भाग जातो.

--------------------

■ 12 ची कसोटी : – ज्या संख्येला 3 ने आणि 4 ने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला 12 ने पूर्ण भाग जातो.

--------------------

■ 15 ची कसोटी : – ज्या संख्येला 5 आणि 3 ने भाग जातो म्हणून त्या संख्येला 15 ने पूर्ण भाग जातो.

--------------------

■ 16 ची कसोटी : – ज्या संखेच्या शेवटच्या चार अंकांना 16 ने भाग गेल्यास त्या संख्येला पण 16 ने भाग जातो.

--------------------

■ 18 ची कसोटी : – ज्या संख्येला 2 आणि 9 ने भाग जातो त्या संख्येला 18 ने भाग जातो.

--------------------

■ सोडविलेली उदाहरणे :

1)  खालीलपैकी कोणत्या संख्येला 5 ने नि:शेष भाग जातो?  

       1)  32862    2) 62057   3) 6985  4) 49831

स्पष्टीकरण : 69965 या संख्येच्य एककस्थानी 5 हा अंक आहे म्हणून त्या संख्येला 5 ने भाग जातो.

पर्याय क्र.  3  हे अचूक उत्तर आहे.

--------------------

2)  खालीलपैकी कोणत्या संख्येला 9 ने नि:शेष भाग जातो?

1 )  23454      2)  69212    3) 52301   4)  69341

स्पष्टीकरण :  23454 या संख्येतील अंकांची बेरीज =  2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 18  म्हणून 23454  या संख्येला 9  ने भाग जातो.

पर्याय क्र. 1  हे अचूक उत्तर आहे